Gruppen und ihre Darstellungen

  Zeitraum Sommersemester 2004

  Inhalt Darstellungen endlicher Gruppen spielen sowohl innerhalb der Mathematik als auch z.B. in der Physik eine wichtige Rolle. Anknüpfend an die Grundlagen der Gruppentheorie aus Algebra I werden wir die Struktur endlicher Gruppen eingehender untersuchen. In der Darstellungstheorie werden Operationen von Gruppen auf endlich-dimensionalen Vektorräumen betrachtet; dies liefert konkrete Darstellungen der Gruppen als Matrixgruppen. In der Linearen Algebra wurde für einen Operator auf einem Vektorraum das Normalform-Problem betrachtet; im allgemeinen sind aber mehrere, nicht vertauschbare, Operatoren gleichzeitig zu betrachten, und das entsprechende Problem wird wesentlich schwieriger. Hilfreich sind hier im Fall der Charakteristik 0 die sogenannten Charaktere, d.h. die Spurformen der Darstellungen, die bereits alle wesentlichen Informationen enthalten. Es werden die Grundlagen der Charaktertheorie behandelt und als gruppentheoretische Anwendung z.B. der Satz von Burnside gezeigt, nach dem alle Gruppen der Ordnung p^aq^b (p,q prim) auflösbar sind.
  Literatur-
auswahl
  • G. James, J. Liebeck: Representations and characters of groups, Cambridge University Press (2nd ed. 2001)
  • J.-P. Serre: Linear representations of finite groups, Springer GTM 42 (2001)