Catenaria
Leibniz und die Kettenlinie

                                                                                                     A Hanover 14/24 de Juillet 1691
                                           
Nous avons reduit le probleme à la quadrature de l'Hyperbole,
                                           nous avons donné non seulement les tangentes et l´extension

                                           de la courbe, mais aussi le centre de la gravité ...

                                           et moy j'ay reduit le tout aux logarithmes... tellement que
                                           la courbe catenaire semble estre faite pour donner les logarithmes.


                                                                                       Aus einem Brief von Leibniz an Huygens                                                                                                                                                                                                                                                                                  

                                                    

Die Kettenlinie als Symmetrisierung der Exponentialkurve

Im 17. Jahrhundert befassten sich mehrere berühmte Wissenschaftler wie Galilei, Huygens, Leibniz und die Gebrüder Bernoulli mit der Frage, welche Kurve eine durchhängende Kette beschreibt. Galilei hatte fälschlich vermutet, dass es sich um eine Parabel handelt. Eine solche liefert zwar eine gute Näherung, aber die exakte Form einer "Kettenlinie" (
Catenaria) wurde erst 1690 von Leibniz angegeben:
        
y = a*cosh(x/a) .

Dabei ist der hier auftretende Cosinus hyperbolicus das Mittel aus der Exponentialfunktion
        
exp(x) = 1+x/factorial(1)+x^2/factorial(2)+x^3/factorial(3) + ...
mit der natürlichen Basis


         
1+1/factorial(1)+1/factorial(2)+1/factorial(3) + ... = 2.718281828 ...

und deren Spiegelung an der
y-Achse:
         
cosh(x) = (exp(x)+exp(-x))/2 .

Trotz seines Namens ist der Cosinus hyperbolicus weder ein Cosinus noch eine Hyperbel, noch eine Parabel!

[Plot]

>

Die Kettenlinie ist das arithmetische Mittel
der Exponentialkurve und ihres Spiegelbildes

an der senkrechten Koordinatenachse


Die Rekonstruktion der Exponentialkurve aus der Kettenlinie

Lösen wir die Gleichung

                     
2*cosh(x) = exp(x)+1/exp(x)

nach y = exp(x) auf, so ergibt sich


                     
y^2-2*cosh(x)*y+1 = 0

also

                  y = cosh(x)-sqrt(cosh(x)^2-1)   bzw.  y = cosh(x)+sqrt(cosh(x)^2-1) .

Dabei gilt die linke Formel für negative, die rechte für positive x.

[Plot]

>

Konstruktion der Exponentialkurve aus der Kettenlinie nach Leibniz

Die Kettenlinie und ihre Steigung

Der
Sinus hyperbolicus
             
sinh(x) = (exp(x)-exp(-x))/2
ist die Ableitung des Cosinus hyperbolicus, und umgekehrt:


              sinh(
x) = cosh(x)',      cosh(x) = sinh(x)'.

Deshalb ist die Fläche unter der Kettenlinie (hellblau) stets gleich der Rechteckfläche
(rosa) der Breite 1 und der Höhe
              
sinh(x) = exp(x)-cosh(x) .

[Plot]

Die Exponentialfunktion als Summe der Kettenlinie und ihrer Ableitung

Das rutschende Tischbein

Hier noch zwei weniger bekannte Charakterisierungen der Kettenlinie:

(1) Der Abstand der Tangente von der senkrecht unter dem Berührpunkt liegenden Koordinate ist konstant!

(2) Das von der Tangente und den beiden Lotgeraden gebildete rechtwinklige Dreieck hat stets einen halb so großen Flächeninhalt wie die Fläche unter der Kurve!

[Plot]

[Plot]


Die Konstruktionen der Kettenlinie nach Johann Bernoulli


Zu einem von Leibniz im Jahre 1690 ausgeschriebenen Wettbewerb anläßlich des aktuellen Kettenproblems gingen außer einer verschlüsselten Lösung von Huygens nur zwei Lösungen von Johann Bernoulli ein. Die zweite sah folgendermaßen aus:

[Plot]

[Plot]

Die zweite Konstruktion Bernoullis

                    Kettenlinie: y = a*cosh(x/a) ,   Hyperbel: y = sqrt(x^2+a^2) ,  Parabel: y = x^2/(8*a)+a

Wenn man die Kette in Höhe der Endpunkte waagerecht gerade streckt, so bilden die neuen Endpunkte eine Hyperbel.

Der Abstand des Aufhängepunktes der Kettenlinie (golden) von dem waagerecht gegenüber liegenden Punkt der Hyperbel (blau) ergibt die halbe Bogenlänge der Parabel (rot).  

>


Leibniz und die Windmühlenflügel


Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) verbrachte einen großen Teil seines Lebens in Hannover. Während dieser Zeit konstruierte er eine Reihe von Maschinen zur Verbesserung der Effizienz des Harzer Bergbaus. Beispielsweise entwickelte er eine sogenannte "Windkunst",  eine Windmühle mit senkrechter Achse und Paravents zur Steuerung der Windkraft. Leider war sein Kampf mit den Windmühlenflügeln in der Praxis nicht sehr erfolgreich. Ähnlich erging es seiner Erfindung von kreisenden Förderketten mit kompensierenden Gegengewichten - obwohl noch heute Aufzüge nach diesem Prinzip funktionieren, scheiterte die Konstruktion damals an den mechanischen Gegebenheiten. Möglicherweise haben solche Probleme Leibniz animiert, sich intensiv mit der Theorie der Kettenlinie zu befassen.   


So entdeckte er unter anderem einen erstaunlichen Zusammenhang mit der Fläche von Hyperbelsektoren.

[Plot]

Hyperbelschar   x^2-y^2 = r^2  
          Parameterdarstellung
 x = r*cosh(t), y = r*sinh(t)                   

[Plot]

Hyperbelschar   y^2-x^2 = r^2  
          Parameterdarstellung
 x = r*sinh(t), y = r*cosh(t)     

>

Durch Abschneiden von Sektoren erhält man ein Malteserkreuz (oder vier Windmühlenflügel):

[Plot]

>

Wie Leibniz herausfand, gilt für die Gesamtfläche F der vier Flügel (bei Normierung auf r = 1 ):

                                                                                 
F = ln(x+y)                                           
sowie   

                                                                       
x = cosh(F)  und y = sinh(F)

Um das einzusehen, hilft ein kleiner Trick: Drehen der Flügel um einen Viertelkreis führt auf die Hyperbeln mit der neuen Gleichung

                                   
                                             abs(2*x*y) = 1 .

[Plot]

[Plot]

>

Durch Verschieben rechtwinkliger Dreiecke sieht man, dass die Fläche eines Sektors so groß wie diejenige zwischen dem entsprechenden Hyperbelabschnitt und einer Koordinatenachse ist.

[Plot]

>

[Plot]

Die Gesamtfläche der vier Windmühlenflügel ist ebenso groß wie die Front des Gebäudes!

[Plot]

>