KolumbusEi.mw

Das Ei des Kolumbus 

"Der Unterschied ist, meine Herren,  

dass Sie es hätten tun können -
ich hingegen habe es getan."

Kolumbus 1493 über seine Entdeckung der Neuen Welt 



Wir beschreiten hier einen neuen Zugang zu der berühmten Archimedischen Volumenformel
 

Kegel : Kugel : Zylinder = 1 : 2 : 3 

Plot
 

Eins-zwei-drei, fertig ist das Ei 

Blickt man nicht senkrecht, sondern schräg auf einen Kreis, so sieht man eine Ellipse. Durch Drehung der Ellipse um ihre längere Achse entsteht eine Art Ei, ein sogenanntes Rotationsellipsoid. Dabei handelt es sich um nichts Anderes als eine in Richtung der Rotationsachse gestreckte Kugel.  

Entsprechend werden aus der Archimedischen Anordnung 

Doppelkegel - Kugel - Zylinder 

durch Streckung in Richtung der senkrechten Achsen drei neue Figuren, wobei die Volumenverhältnisse gleich bleiben (da alle drei Volumina mit dem gleichen Faktor multipliziert werden): 

Plot
 

Doppelkegel : Ei : Zylinder = 1 : 2 : 3 

Ist G der Flächeninhalt des waagerechten Großkreises und H die Höhe, so lauten die drei Volumina explizit: 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( ,   Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( ,   Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

Eierschalen 

Während auch das Verhältnis der Oberflächen von Kugel und Zylinder 2 : 3 ist, stimmt dies für das Verhältnis der Oberflächen von Ei und Zylinder gleicher Breite und gleicher Höhe nicht mehr! Der Grund dafür ist, daß schräge Linien- und Flächenelemente je nach Steigung unterschiedlich stark gestreckt werden. Für den Umfang von Ellipsen, also von gestreckten Kreisen, gibt es erstaunlicherweise keine elementare Formel (man braucht sogenannte elliptische Integrale). Dagegen läßt sich die Oberfläche eines Eies (genauer: eines Rotationsellipsoids) exakt und elementar berechnen. Ist R der Radius des Rotationskreises, H die Gesamthöhe des Eies,  

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der Streckfaktor in Richtung der Achse und  

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die sogenannte numerische Exzentrizität, so liefert eine elementare Integration die Oberflächenformel: 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( . 

Das Ei des Kolumbus 

Wir wollen der Archimedischen Proportionsformel für Kegel, Kugel und Zylinder jetzt eine moderne Deutung abgewinnen, bei welcher ein Hohlkegelzylinder sich stetig in eine (Halb-)Kugel verformt, ohne dass sich das Volumen dabei verändert. 

Wir entfernen dazu einen Doppelkegel aus dem Inneren eines Eies, und zwar so, dass der Restkörper ebenso hoch wie breit wird. Die Kugel ergibt sich als Spezialfall gleich langer Achsen, während der Hohlkegelzylinder als Grenzfall eines unendlich hohen Ellipsoids anzusehen ist. 

Dieser Restkörper hat dann stets das gleiche Volumen wie die Kugel gleicher Breite! 

Plot
 

Wer es nicht glaubt, muß ein wenig mit der Ellipsengleichung rechnen.
Eine Streckung des Kreises mit der Gleichung
 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

um den Faktor 1/c in y-Richtung führt zu einer Ellipse mit der Gleichung 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(. 

In der Höhe r besitzt das Ei einen Schnittkreis mit dem Radius s, welcher die Ellipsengleichung erfüllen muß, also 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(  bzw.  Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(. 

Hat der herausgeschnittene Kegel in der Höhe h den Radius w, so ist nach dem Strahlensatz (ähnliche Dreiecke!) 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

und folglich 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(  bzw.  Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(. 

Andererseits hat das Ei in der Höhe h einen Schnittkreis mit dem Radius t , für den wieder die Ellipsengleichung erfüllt sein muß: 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(, 

und zieht man davon die vorige Gleichung ab, so gelangt man zu 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(. 

Mit anderen Worten: Der aus dem Kolumbus-Ei in der Höhe h herausgeschnittene Kreisring hat den Flächeninhalt 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

und das ist wieder der Inhalt der aus der Kugel in gleicher Höhe herausgeschnittenen Kreisscheibe! 

 

Die kontinuierliche Wandlung eines Hohlkegelzylinders in eine Kugel  

 

 

 

 

Plot
 

Die Mantelfläche der Kolumbus-Eier 

scheint auf den ersten Blick ebenfalls konstant zu sein. Auch bei genauerer Inspektion sind mit bloßem Auge keine Unterschiede zu erkennen. Und dennoch - es gibt sie! Durch eine geeignete Integration findet man:
Ein Ei mit Radius
R und Höhe H > Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( hat zwischen 0 und R die folgende Mantelfläche: 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(     mit  Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(  und 

 

f(k) = `+`(`*`(`^`(`+`(1, `-`(`*`(`^`(k, 2))), `*`(`^`(k, 4))), `/`(1, 2))), `/`(`*`(arcsin(`*`(k, `*`(`^`(`+`(1, `-`(`*`(`^`(k, 2)))), `/`(1, 2)))))), `*`(k, `*`(`^`(`+`(1, `-`(`*`(`^`(k, 2)))), `/`(...
Plot_2d
 

Wie man sieht, liegen die Funktionswerte von Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( ziemlich nahe bei 2 (Abweichung weniger als 5 %).
Insbesondere ist für Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(
 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(   (Halbkugel mit Radius R) 

und für Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( 

Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(   (Hohkegelzylinder mit Radius R und Höhe R). 

 

Die Mantelfläche der Kolumbus-Eier ist als beinahe, aber nicht genau flächengleich zu der Kugeloberfläche gleicher Höhe und Breite. Außer in den beiden Randfällen ist der Flächeninhalt der Eierschale stets etwas kleiner als die der Halbkugel! 

 

Das Ei des Brunelleschi 

Nicht unerwähnt bleiben soll zum Schluss, dass die Idee mit dem eingedrückten Ei der Überlieferung nach  zutreffender dem Architekten des Florentiner Domes, Filippo Brunelleschi,  zugeschrieben wird. Die Domkuppel hat nämlich tatsächlich die Form eines eingedrückten halben Eies.  

Plot