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Pythagoras, Thales und Euklid 

Die Mathematiker der griechischen Antike waren ihrer Zeit und auch ihren Epigonen im "finsteren Mittelalter" um Etliches voraus. Hier einige ihrer klassischen geometrischen Entdeckungen in Wort und Bild.
 

Pythagoras auf dem Broadway
Wie lange ist der Broadway (mit der Quadratseite als Längeneinheit)?
 

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Satz des Pythagoras 

Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn die Fläche des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächen der Kathetenquadrate ist: 

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Im Falle des Broadways als Hypotenuse erhalten wir für Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( und Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( : 

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Ein "mechanischer" Beweis ohne Worte und Rechnungen:
 

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Euklid im Amphitheater
 

Zur Uraufführung des Ingenieur-Dramas "Ingenius und Elektra" drängen sich die Zuschauer auf den Stufen des Amphitheaters, um den besten Blickwinkel auf die Bühne zu ergattern. Euklid bleibt gelassen: weiß er doch, daß man innerhalb einer kreisförmigen Reihe die Bühne stets unter dem gleichen Winkel sieht, völlig unabhängig vom gewählten Platz.  

 

Umfangwinkelsatz des Euklid 

Eine Sehne eines Kreises wird von allen Punkten des Kreisrandes, die auf der gleichen Seite liegen, unter dem selben Winkel gesehen. 

 

Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt stets Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( .
Speziell ist in dem nachfolgenden Bild
                   Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(    und     Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi( ,    also   Typesetting:-mrow(Typesetting:-mi(  konstant!
 

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Ein Sonderfall ist der
 

Satz des Thales
Von jedem Punkt eines Kreisrandes aus sieht man den Durchmesser unter einem rechten Winkel. 

 

Die Zuschauer auf der Rückseite der Bühne sehen diese (außer im Falle des Thaleskreises) unter einem anderen Winkel als die auf der Vorderseite; und zwar ergänzen sich die beiden Blickwinkel gerade zu 

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Das folgt aus dem Satz von Thales, denn die Winkelsumme im Viereck beträgt 

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Wandern wir einmal um das ganze Amphitheater herum, mit Blick auf die Bühne: 

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Der Satz von Pythagoras folgt aus dem von Euklid stammenden 

Kathetensatz 

Für rechtwinklige Dreiecke ist die Fläche eines Kathetenquadrats gleich der Fläche des Recktecks, das von dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt und einer weiteren Seite des Hypotenusenquadrats aufgespannt wird. 

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Aus der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke ergibt sich
 

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Und hier noch ein "mechanischer" Beweis des Kathetensatzes: 

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